Rechnerische Lösung des Ziegenproblems
3.1 Die Bayesformel:
Diese Formel ist sehr wichtig zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und wird uns auch beim Ziegenproblem sehr helfen. Als erstes befasst man sich erneut mit dem Problem der Urne mit den 3 verschieden farbigen Bällen darin.
Hier gilt ja: P(rot und blau) = p(rot) p(blau wenn rot)
hierfür lässt sich auch schreiben: P(rot und blau) = p(rot) p(blau | rot)
also ist p(B | A) die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A das Ereignis B nach sich zieht. Es gilt: p(rot und blau) = p(rot)p(blau | rot) = p(blau)p(rot | blau)
Nun stellt man sich vor, dass man zwei Urnen hat. In der einen (A1) sind drei weiße (B) und vier schwarze (C) Bälle darin und in der anderen (A2) sind vier weiße (B) und drei schwarze (C).
Man erkennt, dass die Chance eine weiße Kugel zu ziehen davon abhängt, aus welcher Urne man zieht. P(A1 und B) = p(A1)p (B | A1)
Aber gilt auch: p(A1 und B) = p(B)p(A1 | B)?
Wie groß ist nun die Chance, wenn jemand blind eine Kugel zieht und nicht weiß, aus welcher Urne diese stammt, dass die gezogene Kugel weiß ist?
Es gilt ja
N ist die Anzahl aller weißen Kugeln und NA ist die Menge aller möglichen Ziehungen aus der Urne 1.
Also gilt: p(A1 | B) = A1 und B
Diese Formel multiplizieren wir im Zähler sowie im Nenner mit wobei x die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist.
Nun gilt wieder:
Und:
Also:
Dies lässt sich umformen zu:
Wir haben also nun bewiesen, dass nicht nur gilt:
Sondern auch:
Da wir bewiesen haben, dass die Formeln zum selben Ergebnis führen, kann man sie gleichsetzten:
Nun verwendet man die Formel für die absoluten Wahrscheinlichkeiten:
Diese Formel beschreibt eine bestimmte Wirkung B, die aus bestimmten Ursachen Aj bis An hervorgeht
Wir erhalten:
In Worten: Wahrscheinlichkeit der Ursache A, wenn potentielle Wirkung B beobachtet wurde =
Wahrscheinlichkeit der Wirkung B, wenn Ursache A, vorliegt * Wahrscheinlichkeit der Ursache A unabhängig von irgendeiner Beobachtung
Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Entstehungsprozesse von B aus sämtlichen möglichen Ursachen Aj
Diese Formel liefert nun die Wahrscheinlichkeit mit der B ein Hinweis auf die Existenz von A1 ist. Nun gehen wir davon aus, dass der Kandidat die erste Tür gewählt hat. Der Moderator öffnet nun Tür 3. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass der Hauptgewinn hinter Tür zwei ist?
Da der Kandidat die Beobachtung M3 gemacht hat gilt:
p(M3 | A2) = ist gleich eins, tritt also immer ein, denn der Moderator kann nur Tür 3
öffnen, wenn hinter Tür 2 das Auto steht.
p(A2) = 1/3 beziehungsweise = p(A1) oder p(A3), denn das Auto wird anfangs
gleichwahrscheinlich verteilt.
p(M3 | A1) = ½, denn in diesem Fall wählt der Moderator zwischen Tür 2 und Tür 3
zufällig aus.
P(M3 | A3) = 0, denn sonst wäre das Spiel direkt vorbei
Nach dem Einsetzten erhält man: Bei der Gegenprobe wird einfach nur p(M3 | A2)* p(A2) mit p(M3 | A1) * p(A1)
vertauscht. So erhält man:
Als Ergebnis erhält man:
Man sieht also, dass man als Ergebnis eins erhält, wenn man die beiden Werte zusammenzählt.
Dies ist der Beweis, dass das Auto hinter einer der beiden Türen stecken muss und somit ist die Rechnung richtig.
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