letzter Post zum Ziegenproblem
Man kann das Ziegenproblem auch zeichnerisch lösen. Hierfür verwendet man ein sogenanntes Baumdiagramm. Wir gehen hier immer davon aus, dass sich der Kandidat für die erste Tür entscheidet. Die Möglichkeit, dass sich das Auto (Hauptgewinn) hinter Tür eins befindet, wird als A1 bezeichnet. Die anderen Möglichkeiten, wo sich das Auto am Anfang befindet, werden als A2 und A3 bezeichnet. Der Moderator darf nur eine Tür aufmachen, wenn sie nicht vom Kandidaten gewählt wurde und sich das Auto auch nicht dahinter befindet.
Nun schaut man sich die einzelnen Möglichkeiten an und berechnet die Wahrscheinlichkeiten am Rand. Geht man jetzt zum Beispiel davon aus, dass das Auto hinter Tür 2 ist, hat der Moderator nur noch die Möglichkeit die dritte Tür aufzumachen (mittlerer Weg).
Hieraus resultieren folgende Ergebnisse:
Nun kann man p(1) und p(2) sowie p(3) und p(4) addieren, da p(1) und p(2) voraussetzen, dass man direkt am Anfang die richtige Wahl getroffen hat, während man bei p(3) und p(4) lieber umwählen sollte. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, indem man bei seiner Erstwahl bleibt, ist also 1/3 und die beim Umwählen 2/3. Dieses Ergebnis deckt sich auch mit der oben errechneten Wahrscheinlichkeit.
4. Das Gefangenenparadox:
Das Gefangenenparadox ähnelt stark dem Ziegenproblem. Hier geht es um 3 Gefangene, die am folgenden Tag hingerichtet werden sollen. Der Gefängniswärter verrät ihnen, dass einer begnadigt wird. Jedoch darf er nicht sagen welcher. Doch der Gefangene A kann sich nicht damit zufrieden geben und besticht den Wärter. Dieser sagt ihm zwar nicht, ob er begnadigt oder hingerichtet wird, jedoch verrät er, dass B auf jeden Fall hingerichtet wird. Nun überlegt sich A, dass seine Chancen von 1/3 auf ½ gestiegen sind. Doch hat er da Recht?
Auch hier gibt es wieder vier verschiedene Möglichkeiten:
1. A begnadigt, B genannt,
2. A begnadigt, C genannt,
3. B begnadigt, C genannt,
4. C begnadigt, B genannt,
Da der Wärter ihm aber verraten hat, das B auf jeden Fall verurteilt wird, kommen nur Fall eins und vier in Frage. Also hat Kandidat C bessere Chancen, den nächsten Tag zu überleben als A.
5. Ergebnis:
Diese Arbeit sollte zeigen, dass man nicht alles direkt beurteilen kann. Man sollte über gewisse Probleme erst einmal nachdenken, bevor man negative Kritik verteilt. Die meisten Menschen haben nicht die Gabe in Wahrscheinlichkeiten zu denken und kommen auf falsche Ergebnisse. Erst wenn man sich wie beim Ziegenproblem oder bei der Gefangenenparadox alle möglichen Fälle vorstellen kann, ist man in der Lage, die Situation auch zu bewerten. Allerdings muss ich zugeben, dass ich, als ich von dem Ziegenproblem hörte, auch der Auffassung war, dass nach dem Öffnen der zweiten Tür die Chancen 50:50 stehen. Grade deswegen habe ich mich dann auch mit diesem Thema befasst, weil es mich faszinierte. Auch meine Klassenkameraden, denen ich von diesem Problem erzählte, konnten es nicht glauben. Jedoch am Ende muss ich sagen, dass ich zu 100% überzeugt bin, dass das Ziegenproblem sich so wie in den vorherigen Seiten angegeben, lösen lässt.
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rolf meint:
Antwort schreibenMittwoch, 28. Mai , 2008 um 2:04
der knackpunkt beim gef-paradox ist, dass der wächter unter der
bedingung, dass a begnadigt wird, die wahl zwischen b ud c hat,
somit mit einer w’keit von 1/2 auswählt. ist dagegen c begnadigt,
so fällt die wahl auf b mir w’keit 1.
deshalb auch die doppelte W’keit von 2/3 zu 1/3.
allgemein ver(n-1)fachen sich die w’keiten des übriggebliebenen(ü)
in bezug auf die des fragenden(f), die sich nicht verändert
bei n = 10 verändert sich bei f nichts, während ü’s w’keit bei jeder
nichtbenennung steigen. am ende sind alle 8 verurteilte benannt
worden und ü’ chance beträgt 9/10. das 9-fache der von f.
ne schönne jross