Die Wahrscheinlichkeitsrechnung
2.1 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Um das Ziegenproblem besser verstehen zu können, sollte man sich erst einmal mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung vertraut machen.
Zunächst sollte man sich überlegen, was Wahrscheinlichkeit überhaupt ist. Die Wahrscheinlichkeitstheorie stammt aus dem 17. Jahrhundert und beschreibt ein Maß des Vertrauens. Damals suchten Aufklärer nach den besten Methoden des Schließens. Sie suchten einen Mittelweg zwischen Gewissheit und Zweifel und schufen so die Wahrscheinlichkeit. Mit dieser neu gewonnen Erkenntnis konnten sie bestimmte Risiken abschätzen. Dies half ihnen Entscheidungen zu treffen.
Hier gibt es eine grundlegende Formel:
p steht hier für die Wahrscheinlichkeit, A für das Ereignis, nach dem gefragt ist. Somit steht p(A) für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses.
NA ist die Anzahl der Ereignisse, nach denen gefragt ist und N ist die Anzahl aller möglichen Ereignisse.
Wirft man jetzt zum Beispiel eine Münze in die Luft und fragt sich mit welcher Wahrscheinlichkeit Kopf oben liegt, so wendet man die Formel wie folgt an:
N ist gleich 2, da die Münze zwei Seiten hat und beide mit der gleichen Wahrscheinlichkeit oben landen. NA ist gleich eins, da nur danach gefragt ist, dass Kopf oben liegt.
So erhält man also eine Wahrscheinlichkeit, dass Kopf oben liegen wird, von ½.
Ein anderes Beispiel:
In einer Urne sind 100 Kugeln. Sie sind mit den Zahlen von 1 bis 100 durchnummeriert.
Man zieht blind eine von diesen Kugeln aus der Urne. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl heraus zu ziehen?
In diesem Fall wäre N gleich hundert, NA gleich fünfzig, da es fünfzig gerade Zahlen auf den Kugeln gibt.
Man setzt die Zahlen in die Gleichung ein und erhält einen Wert von oder ½.
Auch wenn man nicht genau weiß, wie viele Kugeln in der Urne sind, kann man es durch häufiges Ziehen abschätzen. Dies nennt sich das Gesetz der großen Zahlen. Wirft man beispielsweise eine Münze, so stehen die Chancen ½, dass Kopf oben liegt.
Wenn man jedoch zweimal wirft, so kann es sein, dass man zweimal das selbe Symbol erhält. Doch deswegen ist die Wahrscheinlichkeit nicht direkt gleich 1. Man muss bedenken, dass für jeden Münzwurf die Wahrscheinlichkeit neu berechnet werden muss.
Wirft man jedoch mehrfach, so nähert sich der Wert immer mehr ½ an. Man kann also sagen, dass die Wahrscheinlichkeit etwas über die relative Häufigkeit aussagt.
2.2 Multiplikationsregel:
Man wirft erneut eine Münze. Dieses Mal jedoch zweimal. Jetzt fragt man sich, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass beides Mal die Münze Kopf zeigt.
Man denkt an die oben genannte Formel und überlegt sich, wie viele Möglichkeiten es gibt:
1. (Kopf& Kopf) 2. (Kopf& Zahl) 3. (Zahl& Kopf) 4. (Zahl& Zahl)
Man benutzt die Formel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und kommt auf ein Ergebnis von ¼.
Dieses Ergebnis könnte man auch auf einem anderen Weg bekommen. Zuerst errechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Münzwurfes. Diese ist ja bekanntlich ½. Die des zweiten Wurfs liegt ebenfalls bei ½. Multipliziert man nun die beiden Ergebnisse, so erhält man ebenfalls das Ergebnis ¼.
Es gilt also:
Diese Formel gilt jedoch nur für voneinander unabhängige Ergebnisse.
2.3 Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten:
Für voneinander abhängige Situationen benutzt man eine andere Vorgehensweise.
Zur Veranschaulichung bringe ich hier wieder das Beispiel mit der Urne an.
Man geht davon aus, dass in der Urne drei Kugeln liegen. Eine rote, eine blaue und eine grüne.
Man zieht wieder blind die erste Kugel. Hier ist die Wahrscheinlichkeit wieder 1/3.
Zieht man anschließend wieder eine Kugel, so ist die Wahrscheinlichkeit ½, da ja nur noch 2 Kugeln in der Urne sind. Man multipliziert wieder die beiden Ergebnisse und erhält eine Wahrscheinlichkeit von 1/6. Man kann also sagen es gilt:
p(rot und blau) = p(rot)*p(blau wenn rot)
2.4 Rechnen mit Ausschluss von Wahrscheinlichkeiten
Wie mit dem Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten kann man auch die Wahrscheinlichkeit errechnen, mit der bestimmte Sachen nicht passieren.
Nimmt man sich zum Beispiel einen Würfel, so ist die Wahrscheinlichkeit die 6 zu würfeln nach der oben angeführten Formel 1/6. Wie hoch ist nun aber die Wahrscheinlichkeit, die 6 nicht zu würfeln? Hier benutzt man eine abgeänderte Form der Formel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Erhält man als Ergebnis in der Formel p=NA/N, eine eins, so tritt diese Situation auf jeden Fall ein. Das macht man sich zu Nutze, um bestimmte Situationen auszuschließen. Hier gilt:
p(nicht A )=
Im Falle des Würfels wäre also die Wahrscheinlichkeit keine 6 zu würfeln:
P(nicht 6)
Man erhält 5/6 als Ergebnis.
Auch diese Wahrscheinlichkeiten lassen sich multiplizieren.
So entstehen sehr schnell ganz kleine Zahlen. Diesen Vorteil machen sich beispielsweise Fallschirmspringer zu Nutze.
Geht man davon aus, dass sich ein Fallschirm in 999 von 1000 Fällen öffnet, so erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 999/1000. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sich nicht öffnet, 1/1000. Dieser Wert ist noch verhältnismäßig hoch, da ja jeder 1000. Springer sterben würde.
Doch normalerweise hat man immer einen zweiten Fallschirm dabei. Für den gilt ebenfalls:
p(Fallschirm öffnet sich nicht) = 1/1000
Multipliziert man die Ergebnisse, kommt man auf eine Wahrscheinlichkeit, dass sich der Schirm nicht öffnet, von 1/1000000.
Dieser Wert ist sehr klein und gibt den Fallschirmspringern eine hohe Sicherheit.
Auch in Industrieanlagen wird meist mit einer zweiten Anlage gearbeitet. So umgeht man einen völligen Ausfall der Produktion. Diese Erfahrung konnte ich bei meinem Praktikum bei Akzo Nobel machen.
2.5 Der Simulationsirrtum:
Ein weiteres Problem, wenn man sich mit dem Ziegenproblem beschäftigt, ist der Simulationsirrtum. Bei dieser These, die von den US-amerikanischen Psychologen Kahnemann und Tversky im Dezember 1980 aufgestellt wurde, geht es um die Vorstellungskraft des Menschen. Die beiden Forscher erkannten, dass Szenarien, die detaillierter und somit unwahrscheinlicher sind, eine größere Überzeugungskraft auf Personen haben als einzelne Behauptungen
Das liegt daran, dass man sich detailliertere Szenarien besser vorstellen kann und sie so wahrscheinlicher wirken.
In ihrer Studie stellten Kahnemann und Tversky ihren Testpersonen folgende Frage:
Die Testpersonen sollten folgende Ereignisse nach ihrer Wahrscheinlichkeit beurteilen
A: Reagan wird die Bundeszahlung für die Kommunalregierungen kürzen.
B: Reagan wird Unterstützungsgelder für unverheiratete Mütter beschließen.
C: Reagan wird den Verteidigungshaushalt um weniger als fünf Prozent erhöhen.
D: Reagan wird Unterstützungsgelder für Unverheiratete Mütter beschließen und die Bundeszahlungen für die Kommunalregierungen kürzen
Die meisten Teilnehmer halten die Voraussage D für wahrscheinlicher als Aussage A oder B.
Jedoch gilt ja:
Deshalb ist D weniger wahrscheinlich als A oder B:
p(D) < p(A) und
p(D) < p(B)
Ein weiterer Test von Kahnemann und Tversky ist der „Linda-Test“
Die beiden stellten den Testpersonen folgenden Text zur Verfügung:
Linda ist 31 Jahre alt, Single, freimütig und sehr intelligent. Sie hat ein Diplom in Philosophie. Als Studentin hatte sie sich stark gegen verschiedene Formen von Diskriminierung engagiert und nahm auch an Anti-Atom-Demonstrationen teil.
Danach wurden die Versuchspersonen gefragt, welche der folgenden Aussagen wahrscheinlicher ist:
1. Linda ist Kassenbeamtin einer Bank.
2. Linda ist Kassenbeamtin einer Bank und aktive Feministin.
Die meisten Personen entschieden sich für die zweite Möglichkeit weil sie sich diese besser vorstellen konnten. Jedoch ist es ja wohl wahrscheinlicher, dass nur eine von den Aussagen richtig ist, wenn man nicht über die Richtigkeit dieser weiß.
Diesen Trick wenden zum Beispiel auch Anwälte an. Sie veranschaulichen ihr Plädoyer so, dass es glaubwürdiger wirkt.
2.6 Weitere Alltagsprobleme:
Das Botenproblem: Dieses Problem entstand im zweiten Weltkrieg, ist jedoch noch nicht veraltet.
Die Aufgabe: Sie wollen einen Brief absenden und dieser soll unbedingt am nächsten Morgen ankommen.
Sie haben die Wahl zwischen zwei Botendiensten. Der Dienst S ist doppelt so teuer wie der Dienst U. Die S-Boten sind jedoch doppelt so zuverlässig. Jetzt haben Sie die Möglichkeit dem Dienst S ihr Schreiben zu geben oder dem Dienst U ihr Schreiben plus eine Kopie.
Der Dienst U würde 2 voneinander unabhängige Boten losschicken.
Dieses Problem lässt sich mit den bisher bekannten Formeln lösen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Dienst S den Brief pünktlich abliefert, nennen wir p(S+).
p(S-), dass er es nicht schafft.
P(S-) = 1-p(S+)
Für jeden U-Boten gilt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide U-Boten es nicht schaffen, nennen wir: p(U–)
Da die S-Boten doppelt so zuverlässig sind gilt:
, dieses ist equivalent zu:
man wendet die zweite binomische Formel an und erhält:
, das 2p(U+) wird durch das p(S+) ersetzt.
also ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Boten vom Dienst U versagen , die des Botendienstes S .
Da 1-p(S+) kleiner sein muss als 1-p(S+) + p(U+)² (wegen dem „+ p(U+)²“) ist also die Wahrscheinlichkeit, dass, der Dienst S den Brief rechtzeitig liefert höher als die beim Dienst U.
Aber warum ist dies so? Normalerweise müsste man annehmen, wenn der Dienst S zwar doppelt so zuverlässig ist wie der Dienst U, dieser jedoch 2 Boten losschickt, die Wahrscheinlichkeit ausgeglichen sein müsste. Dies ist jedoch nicht so.
Nehmen wir einmal an, dass wir nicht einen sondern 10 Briefe verschicken wollen. Vom Dienst S kommen 8 Briefe an, vom Dienst U bringt jeder Bote 4 Briefe rechtzeitig ans Ziel.
Man kommt ebenfalls auf 8 Briefe. Aber dadurch, dass die beiden Boten vom Dienst U unabhängig voneinander arbeiten, kann es passieren, dass sie identische Adressen zur gleichen Zeit erreichen. Im schlimmsten Fall kämen so nur 4 Briefe an.
2.7 Die Additionsregel:
Die Additionsregel lässt sich am besten mit dem Münzwurf erklären. Wir werfen eine Münze zweimal in die Luft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Kopf geworfen wird? Wir wenden wieder die Formel NA/N an. Diesmal gibt es jedoch für NA drei Möglichkeiten. N enthält 4 Möglichkeiten, die wären: (1) Kopf & Kopf, (2) Kopf & Zahl, (3) Zahl & Kopf und (4) Zahl & Zahl.
Man erhält eine Wahrscheinlichkeit von ¾, dass man bei zwei Würfen mindestens einmal Kopf wirft. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, einmal Zahl und einmal Kopf zu werfen? Für diese Variante kommt nur Fall zwei und Fall 3 in Frage.
Also: p(Fall 2 oder Fall 3) = p(Fall 2) + p(Fall 3)
Es wäre also p(A oder B)= p(A) + p(B)
Diese Regel gilt jedoch nicht immer. Wendet man sie auf das Beispiel darüber an und verwendet für den Fall, dass die Münze Kopf zeigt ein K, erhält man:
Da dies nicht sein kann, wenden wir auf dieses Beispiel ein Gemisch aus Multiplikations- und Negationsregel an:
| p(K1) = p(K2) = 1/2
also gilt:
Versucht man nun eine allgemeine Form herzuleiten, muss man einige Umformungen betreiben:
es gilt: . Dies wendet man nun auf die obige Formel an und erhält nach einigem umformen:
daraus folgt:
So kommt man zur allgemeinen Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten:
p(A oder B)= p(A)+p(B)-p(A)*p(B)
2.8 Raten von Risiken:
Die Geburtstagsparadoxie:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 24 zufällig aufeinander treffende Menschen, zwei am selben Tag Geburtstag haben?
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person A am 1. Januar Geburtstag hat, liegt bei 1/365.
Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie an einem Tag im Jahr Geburtstag haben muss, 365/365 = 1. Logisch! Dass der Geburtstag der Person B auf einen anderen Tag wie dem von A fällt, hat eine Wahrscheinlichkeit von 364/365. Dass, der Geburtstag der Person C auf einen anderen Tag fällt wie die von A und B, besitzt eine Wahrscheinlichkeit von 363/365. Dies kann man so weiter fortführen. Am Ende gelangt man zu der Formel:
p(kein gemeinsamer Geburtstag)
Man erhält ein Ergebnis, das knapp über ½ liegt.
Einen weiteren Irrtum begingen Personen, die vor folgende Aufgabe gestellt wurden:
Sie haben folgende Auswahlmöglichkeiten:
Spiel 1: Eine Münze wird geworfen. Bei Kopf erhält man einen Preis.
Spiel 2: In einer Urne liegen 9 weiße und eine schwarze Kugel. Man zieht 7 Mal eine Kugel und legt sie anschließend wieder in die Urne. Das Spiel ist gewonnen, wenn man 7 Mal eine weiße Kugel gezogen hat.
Die Mitspieler entschieden sich für das Urnenspiel, da sie sich bessere Chancen ausrechneten. Sie gingen davon aus, jedes Mal von neuem mit einer Wahrscheinlichkeit von 9/10 eine weiße Kugel zu ziehen. Dies ist ein Irrtum. Es gilt nämlich: Da das Ergebnis ungefähr bei 0,48 liegt, hat man mit dem Münzspiel besser Chancen zu gewinnen.
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