Primzahlen
Gibt es unendlich viele Primzahlen?
Der mathematische Begriff Primzahl kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „einfache Zahl“. Dieses „einfach“ bezieht sich auf die Definition einer Primzahl, in der es heißt, dass sie „nur durch Eins und sich selbst teilbar ist“. Bei dieser Definition ist hervorzuheben, dass man davon ausgeht, mit natürlichen Zahlen und ohne das Vorkommen eines Restes zu rechnen. Wenn man sich die Folge der Primzahlen genau betrachtet, fällt auf, dass ihre Anzahl mit zunehmender Zahlengröße abnimmt, also die durchschnittlichen Abstände zwischen ihnen immer größer werden. Um sich dies an konkreten Zahlen vorstellen zu können, habe ich die beistehende Tabelle erstellt. Auf Grund dieser Tatsache zwängt sich selbstverständlich die Frage auf, ob es endlich oder doch vielleicht unendlich viele Primzahlen gibt. Auch der griechische Mathematiker Euklid suchte nach der größtmöglichen Primzahl und kam zu folgender Erkenntnis: „Es gibt mehr Primzahlen, als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.“. Mit dieser Aussage hat Euklid verdeutlicht, dass es keine größte Primzahl gibt, woraus man also schlussfolgern kann, dass ihre Menge unendlich groß ist. Der Begriff „unendlich“ wurde von den Griechen damals nur sehr vorsichtig benutzt. Euklid zog seine Erkenntnis aus einem indirekten Beweis, so wie es auch Georg Cantor mehr als 2000 Jahre später bei seinem zweiten Diagonalgesetz getan hat (siehe 3.3). Euklid ging davon aus, es gibt eine endliche Menge Primzahlen mit n Elementen. Nun bildete er durch Multiplikation der einzelnen Elemente der Menge, also , eine Zahl x. Das Produkt x wird mit Eins addiert und man erhält m, eine weitere Primzahl.
Die Begründung ist folgende: Da m-1, also x nachvollziehbarer weise durch alle zuvor erwähnten Primzahlen p teilbar ist, bleibt daher bei der Division von m immer ein Rest von Eins übrig. Folglich kann m nicht als Produkt der bisherigen Primzahlen gebildet werden und ist deshalb selbst eine solche, denn jede andere Zahl ließe sich sonst auf diese Weise darstellen. Somit hat man also eine größere Primzahl m als pn gefunden und könnte die Rechnung beliebig oft wiederholen. Durch diesen indirekten Beweis hat Euklid gezeigt, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss und die gegenteilige Behauptung, es gebe endlich viele Primzahlen, widerlegt.
Beispiel: = 2310; 2310 + 1 = 2311
Primzahlzwillinge
Unter dem Begriff Primzahlzwillinge versteht man zwei Primzahlen, die genau den Abstand „Zwei“ voneinander haben. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das:
p1- p2 = |2| mit p1 und p2.
Wie schon in 4.1 erwähnt, nimmt die Anzahl der Primzahlen mit zunehmender Zahlengröße ab. Auf Grund dieser Erkenntnis war man sich sehr lange darüber im Ungewissen, ob die Menge der Primzahlenzwillinge unendlich ist. Erst im Jahr 2003 veröffentlichten die Mathematiker Dan Goldston von der Staatsuniversität in San José und Cen Yildirim von der Bogaziçi-Universität in Istanbul einen 25-seitigen Beweis dafür, dass es auch zwischen sehr großen aufeinanderfolgenden Primzahlen immer wieder kleinere Distanzen gibt, wo Zwillinge auftreten können. Dieser Beweis enthielt jedoch einen Fehler, sodass ihn die beiden Mathematiker bis in den Mai 2005 überarbeiteten. Dieser nun korrekte Nachweis enthält außerdem eine weitere Methode für die Suche nach der Anzahl der Primzahlzwillinge und gilt deshalb als Sensation.
Außerdem gibt es neben den Primzahlzwillingen auch Primzahlvierlinge, welche zwei Zwillinge mit dem Abstand von Vier voneinander trennen.
(p, p+2, p+6, p+8)
Antwort schreiben