Iterationen
Die Koch-Kurve
Bei einer Iteration wird das Ergebnis einer Formel immer wieder als Ausgangswert dieser selben weiterverwendet, sodass kein Ende der Folge eintritt. Ein Beispiel für eine Iteration ist, wenn jemand in einen Spiegel guckt und sich direkt hinter der Person ein zweiter Spiegel, der genau parallel zum ersten ausgerichtet ist, befindet. Nun betrachtet man in dem einen Spiegel das Spiegelbild des anderen usw. . Genau genommen hat diese Iteration jedoch ein Ende, da die Spiegel nie exakt parallel zueinander sein können, weil man sich sonst selbst die Sichtlinie versperren würde.
In der Mathematik gibt es selbstverständlich genaue Iterationen. Eine Konstruktion, der nach dem schwedischen Mathematiker benannten Koch-Kurve ist eine solche. Die Grundidee dieser Kurve basiert jedoch auf den Cantor-Staub, auf den ich nicht ausführlicher eingehen werde, da ich die Koch-Kurve als ein besser verständlicheres Beispiel halte. Bei dem erstellen einer solchen Kurve betrachtet man eine Strecke, die in drei gleich große Abschnitte unterteilt wird. An den mittleren Streckenabschnitt setzt man nun zwei Schenkel eines gleichseitigen Dreiecks. Die Länge der ursprünglichen Strecke hat sich somit um verlängert. Im nächsten Schritt führt man das soeben angewendete Verfahren mit den vier kongruenten Teilstrecken durch. Jede einzelne Teilstrecke wird bei diesem Schritt wieder um verlängert. Dieses Vorgehen wiederholt sich unendlich oft: . Aus dieser Koch-Kurve lässt sich nun auch die Koch-Schneeflocke ableiten. Diese konstruiert man nach dem gleichen Schema, wenn man von einem gleichseitigen Dreieck, anstatt von einer Strecken ausgeht. Als Koch 1904 diese Kurve, die an keiner Stelle eine Tangente besitzt, beschrieb, nannte man sie „Monsterkurve“. Erst Mandelbrot führte 1975 den Begriff „Fraktal“ ein.
Das Apfelmännchen
Der Begriff Fraktal, den Mandelbrot geprägt hat, steht für eine gebrochene Dimension. Das wahrscheinlich bekannteste Fraktale ist das Apfelmännchen (siehe Bild). Fraktale, so wie die Koch-Schneeflocke oder eben das Apfelmännchen, haben einen unendlich langen Umfang, begrenzen jedoch eine endliche Fläche. Das besondere an diesen Kurven ist, dass, so nahe man sich ihr auch nährt, man immer wieder das gleichen Bild erhält, welches dem Gesamten ähnlich sieht.
Schlussbemerkung
Nachdem ich mich jetzt ausgiebig mit der Unendlichkeit beschäftigt habe, konnte ich alle Fragen, die sich zu Beginn entwickelten, beantworten. Es hat sich herausgestellt, dass Georg Cantor mit seiner Gründung der Mengenlehre für viele neue Erkenntnisse sorgte.
Mit den beiden von ihm angefertigten Diagonalverfahren kann man nämlich zwei unterschiedliche Mächtigkeiten von unendlichen Mengen ermitteln. Hierbei wird die Menge der natürlichen Zahlen als abzählbar unendlich identifiziert und die Menge der reellen Zahlen gehört zu einer mächtigeren Unendlichkeit, der nach Canton benannten überabzählbaren Menge. Des Weiteren habe ich über die Infinitesimalrechnung, dem Rechnen mit unendlich kleinen Zahlen, geschrieben, wobei ich auch von den Ansichten Zenons berichtet habe. Außerdem ist durch die Urknalltheorie auch die Frage beantwortet worden, weshalb es in der Natur nichts unendliches gibt. Die Bearbeitung und zuvor die Recherche nach den passenden Themen, die ich in meiner Facharbeit behandeln wollte, hat mir vieles über das Unendliche und so einige Zusammenhänge zu anderen Themen klar gemacht. Letztlich kann ich sogar sagen, dass mein Thema so komplex ist, dass nicht alle Unterpunkte, die ich behandeln wollte, in meine Arbeit eingeflossen sind, da ich eine bestimmte Seitenanzahl einhalten musste.
Zu den Themen die ich noch zu gerne erklärt hätte, zählen die folgenden: Die Riemann’sche Zahlenkugel, Das Rechnen mit unendlichen Zahlen und Der Unterschied Zwischen potentiellen und aktualen Unendlichkeiten
Das wird Ihnen auch gefallen:
Antwort schreiben