Infinitesimalrechnung
Unendlich klein
Die Infinitesimalrechnung beschäftigt sich mit dem Rechnen mit unendlich kleinen Zahlen. Bisher habe ich mich hauptsächlich mit den unendlich großen Mengen beschäftigt und habe deren verschiedene Mächtigkeiten mit ihren unvorstellbaren Dimensionen genau charakterisiert. In diesem Kapitel möchte ich nun die Faszination, die von den unendlich kleinen Mengen ausgeht, erörtern. Zu diesen zählt man die nicht negativen Zahlen, die größer als Null sind, sich dieser jedoch auf einen unbeschreiblich kleinen Abstand annähern. Unendlich klein sind also Zahlen, die kleiner als jede positive Zahl außer der Null sind. Ein Beispiel für unendlich kleine Zahlenmengen bieten die rationalen Zahlen, da zwischen zwei noch so nahe beieinander liegenden Brüchen immer unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen. Durch Erweitern der beiden Brüche erkennt man auf Anhieb viele neue Zahlen auf dem Intervall, welches durch diese erweiterten Brüche begrenzt wird.
Ein zweites Beispiel für eine unendlich kleine „Größe“ ist die Differenz zwischen den Zahlen Eins und 0, , da 0, nach dem logischen Vorstellungsvermögen unbegreiflich kleiner als Eins ist.
Unendliche Summen
Geometrische Reihe
Unendliche Summen werden gebildet, indem man unendlich viele endliche Zahlen nach einem bestimmten Muster miteinander addiert. Bei der geometrischen Reihe, einer unendlichen Summe aus fallenden Zahlenwerten, beginnt man mit der Zahl Eins, gefolgt von den weiteren Summanden, die jeweils die Hälfte des vorangegangenen betragen, sodass sich die folgende Addition ergibt: 1+ + + … . Die drei Punkte symbolisieren, dass sich die Folge unendlich weit fortsetzt. Wenn man nun die Teilsummen Sn der unendlichen Reihe betrachtet, stellt man ein System fest: z. B. S1 = = ; S2 = = ; also Sn = . Mit Hilfe dieser Erkenntnis fällt auf, dass sich die Teilsummen Sn, wenn n gegen strebt, dem endlichen Wert „Zwei“ immer weiter nähern, bis letztlich nur noch ein unendlich kleiner Unterschied zwischen dem Zahlenwert Sn und Zwei vorliegt. Hieraus ergibt sich die Gleichung: Sn = 2- .
Die geometrische Reihe kann man auch mit der Zahl beginnen lassen, wodurch sich dann eine unendliche Summe ergibt, die häufig im Zusammenhang für das Zurücklegen einer Strecke genutzt wird. Dabei ist der erste Summand die Zahl , die die Hälfte der Strecke darstellt. Jeder weitere Summand steht für die nächste zurückgelegte Teilstrecke. Dadurch nähert sich die Teilsumme Sn der Zahl Eins, welche dann die komplette Strecke symbolisiert. Der griechische Metaphysiker Zenon von Elea ist fälschlicherweise davon ausgegangen, dass die Summe von unendlich vielen Zahlen auch immer unendlich groß ist. Diese Zahl konnte seiner Meinung nach aber niemand berechnen. Selbst jemand, der sein ganzes Leben damit verbringen würde, käme zu keinem Ergebnis, da das Unendliche unerreichbar ist. Mit dieser Erkenntnis folgerte Zenon, dass jede Form der Bewegung nicht möglich sei. Er äußerte den Verdacht, dass die Bewegung im realen Leben nur vom Auge des Menschen als eine solche gesehen wird. Seiner Vermutung nach würde die Realität, wie in der heutigen Zeit ein Videofilm, aus sehr vielen Einzelbildern bestehen, die so schnell hintereinander zu sehen sind, dass das Auge durch Verbindung der Bilder eine scheinbare Bewegung wahrnimmt. Seltsamerweise ließ sich Zenon auch nicht von der Wirklichkeit beirren. Im Gegenteil, er vermutete das Paradoxon, dass die Wirklichkeit falsch wäre. Um diese paradoxe Annahme zu widerlegen, gibt es verschiedenste Einwände und Lösungsmöglichkeiten. Im Grunde genommen kann man jedoch dieses „Paradoxon der Bewegung“ als ein „Paradoxon unserer Auffassung von Unendlichkeit“ bezeichnen und somit die Lösung als eigene, freie Interpretation jedem selbst überlassen.
Harmonische Reihe
Die harmonische Reihe, welche wie auch die geometrische Reihe eine unendliche Summe aus fallenden Zahlenwerten ist, nähert sich, anders als diese, keiner endlichen Zahl an. Die Reihe beginnt mit der Zahl Eins, gefolgt von den weiteren Summanden, die als Bruch dargestellt werden und deren Nenner sich jeweils um den Wert Eins erhöht. In Zahlen ausgedrückt bedeutet das: … . Die einzelnen Elemente dieser Reihe werden immer kleiner, sodass man sagen kann, sie streben gegen Null. Das Erstaunliche an dieser harmonischen Reihe ist, dass, obwohl die Summanden gegen Null streben, die Summe einen unendlich großen Wert annehmen kann. Den Beweis hierfür gebe ich in der folgenden Rechnung:
(die Rechnung kann leider nicht dargestellt werden)
Die obige Rechnung kann man nach dem erkennbaren Schema unendlich fortsetzen. Wie man sieht, behält bei der Relation die linke Seite immer einen größeren Wert, womit bewiesen wäre, dass die Summe der unendlich kleiner werdenden Brüche einen unendlich großen Wert annimmt.
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