die Mengenlehre
Das Paradoxon
Zu Beginn dieses umfangreichen Kapitels möchte ich den Begriff Paradoxon, auch Paradox oder Paradoxie genannt, erklären, da er auf den folgenden Seiten und auch noch in anderen Kapiteln der Facharbeit eine große Rolle spielt. Die Übersetzung aus dem Altgriechischen bedeutet “entgegen einer Meinung oder Ansicht”. Folglich handelt es sich hierbei um einen Widerspruch.
Man kann also sagen, dass bei einem Gedankenspiel ein Phänomen entsteht, welches für den menschlichen Verstand unlogisch klingt oder gegensätzlich zu unserer Erwartung ausfällt. Die Themen Endlichkeit und Unendlichkeit sind oft für den gesunden Menschenverstand nicht leicht nachvollziehbar, weil er sich häufig nicht vorstellen kann, dass das Unendliche nie endet oder sich bei Endlichkeiten die Frage stellt, was vorher war und danach noch passieren wird. Wenn man sich intensiv mit dem Unendlichen beschäftigt hat, stellen sich mehrere paradoxe Fragen, wie z.B. die, ob es verschiedene “Größen” von Unendlichkeiten gibt. Nachfolgend werde ich unter anderem dieses Paradoxon klären.
Abzählbar unendliche Zahlenmengen
Bijektion von geraden Zahlen und Quadratzahlen
Der Mathematikprofessor Georg Cantor konnte die ersten Informationen über die Mächtigkeit, also die „Größe“, der unendlichen Mengen gewinnen, nachdem er heraus gefunden hat, wann zwei Unendlichkeiten gleich mächtig sind. Bei endlichen Mengen würde der Größenvergleich kein Problem darstellen. Man würde jeweils die einzelnen Elemente der beiden Mengen, wie schon im Abschnitt 2. 1 erklärt, zählen und danach miteinander vergleichen. Wäre eine Summe größer als die andere, dann bestände diese mächtigere Menge aus mehr Elementen, als die andere Menge. Wären beide Mengen gleich mächtig, beständen sie aus der gleichen Anzahl von Elementen. Hierbei wäre zu erwähnen, dass eine Teilmenge der endlichen Menge immer weniger Elemente besitzt, als die Menge selbst.
Bei einem Vergleich von unendlichen Mengen kann man aber nicht jeweils die Anzahl der Elemente zählen. Cantor wusste sich mit einer Bijektion zu helfen, welche man natürlich auch bei endlichen Mengen anwenden könnte. Bijektion bedeutet, dass jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge zugeordnet wird. Wenn bei solch einer Abbildung alle Elemente der Mengen so gleichmäßig verteilt werden können, dass kein Element übrig bleibt und auch keine zwei Elemente der einen Menge einem Element der anderen Menge zugeordnet wurden, dann spricht man von gleichmächtigen Mengen. Ist dies nicht möglich, sind sie unterschiedlich “groß”.
So kann man zum Beispiel die Menge aller geraden positiven ganzen Zahlen mit der Menge aller natürlichen Zahlen vergleichen. Auf Anhieb würde jeder behaupten, dass diese Gegenüberstellung unnötig sei. Es klinge ja schließlich logisch, dass es doppelt so viele natürliche Zahlen, wie gerade positive ganze Zahlen gebe, weil die geraden positiven ganzen Zahlen nur eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ausmachten. Nach einer genauen Bijektion stellt man jedoch das Paradoxon fest, dass jeder geraden positiven ganzen Zahl eine natürliche Zahl zugeordnet werden kann. Es ist zwar jede gerade positive ganze Zahl doppelt so groß, wie die ihr zugeteilte natürliche Zahl, jedoch werden nach diesem Verfahren alle Elemente der natürlichen Zahlen und der geraden positiven ganzen Zahlen erfasst und genau zugeordnet. Man muss feststellen, dass beide unendliche Mengen gleich mächtig sind.
Tatsächlich ist also die Menge der natürlichen Zahlen paradoxerweise gleich groß wie ihre Teilmenge der geraden Zahlen. Daran erkennt man einen weiteren Unterschied zu den endlichen Mengen, da beim Unendlichen eine Teilmenge nicht kleiner als die Menge selbst sein muss.
Eine Bijektion mit der Menge der natürlichen Zahlen kann als besonders anschaulich betrachtet werden, da man ihre Elemente ganz leicht nachvollziehbar zum Nummerieren der anderen Menge nutzen kann. Dieses Vorgehen erinnert stark an das Zählverfahren von endlichen Zahlen aus 2.1.
Nach dem gleichen Prinzip, wie eine Bijektion von den geraden Zahlen auf die natürlichen Zahlen möglich ist, kann man auch die natürlichen Zahlen zum durchnummerieren der Quadratzahlen nutzen. Nach dieser weiteren Bijektion ist also zu erkennen, dass die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der Quadratzahlen ebenfalls gleich mächtig sind.
Cantors erstes Diagonalargument
Cantors erstes Diagonalargument oder auch Cantorsches Diagonalverfahren, beweist und veranschaulicht die Bijektion von der Menge der natürlichen Zahlen auf die Menge der rationalen Zahlen. Unter rationalen Zahlen versteht man alle Zahlen, die man als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen kann, sowie die Dezimalzahlen, die eine Periode, also eine sich ewig wiederholende Zahlenfolge, besitzen. Als Grundvoraussetzung für das Diagonalverfahren konstruiert man die nebenstehende Tabelle, in der alle Brüche dargestellt sind. Die Anordnung der Brüche ist nach folgendem Schema aufgebaut:
- Das Schema beginnt oben links mit
- Der Zähler erhöht sich mit zunehmender Zeilenanzahl um den Wert Eins und behält diesen Wert über die gesamte Zeile bei
- Der Nenner erhöht sich mit zunehmender Spaltenanzahl um den Wert Eins und behält diesen Wert über die gesamte Spalte bei
Da die rationalen Zahlen ja unendlich viele Elemente besitzen, muss man sich die dargestellte Tabelle nach rechts und nach unten unendlich weit fortgesetzt vorstellen. Des Weiteren fügt man, der Vollständigkeit halber, da die Menge der rationalen Zahlen auch die negativen Zahlenwerte umfasst, hinter jeden abgebildeten Bruch dessen Gegenzahl. In der vorliegenden Tabelle habe ich diesen Schritt zur besseren Anschaulichkeit ausgelassen. Nun hat man alle Brüche, die es gibt, konstruiert. Von diesen kann man jetzt sehr viele kürzen, so dass man anschließend nur noch von jedem nicht mehr zu kürzenden Bruch genau einen Repräsentanten übrig behält.
Diese Tabelle durchläuft man nun folgendermaßen: Man beginnt in der oberen linken Ecke mit dem Bruch und geht ein Feld nach unten. Danach folgt man der Diagonalen nach oben rechts, dann ein Feld nach rechts, wieder entlang der Diagonalen nach unten links, dann ein Feld nach unten, nun wieder der Diagonalen entlang usw.
Die zuvor gekürzten Brüche werden dabei einfach übersprungen. Auf diese Weise kann man alle gebildeten Brüche mit den natürlichen Zahlen abzählen. Diese Bijektion der natürlichen Zahlen auf die rationalen Zahlen zeigt, dass beide unendliche Mengen gleichmächtig sind.
Solche Mengen, wie die Menge der geraden Zahlen, die Menge der Quadratzahlen und die Menge der rationalen Zahlen, heißen abzählbar unendliche Mengen, da eine Bijektion zu den natürlichen Zahlen möglich ist. Anders ausgedrückt: Mengen, die genauso viele Elemente wie die natürlichen Zahlen haben, also sich mit ihnen durchnummerieren lassen, nennt man abzählbar unendlich. Bei diesen Mengen kann man also sagen, dass sie gleichmächtig sind und auch die gleiche Kardinalzahl besitzen. Doch was versteht man eigentlich unter der Kardinalzahl von unendlichen Mengen? Bei endlichen Mengen ist diese schließlich gleich der Anzahl der Elemente. Cantor wusste sich bei unendlichen Mengen mit dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets zu helfen und benannte sie Aleph / ?. So erhielt die Menge des abzählbar Unendlichen die Kardinalzahl ?0.
Überabzählbar unendliche Mengen
Cantors zweites Diagonalargument
Cantors zweites Diagonalargument aus dem Jahr 1877 beweist, dass die Menge der reellen Zahlen mehr Elemente als die Menge der natürlichen Zahlen besitzt. Zu den reellen Zahlen gehören alle rationalen und irrationalen Zahlen. Unter Letzteren versteht man Zahlen wie p, die unendlich viele Nachkommastellen haben, jedoch diese nie periodisch aufeinander folgen. Die reellen Zahlen umfassen also alle Dezimalzahlen mit endlich oder unendlich vielen Nachkommastellen.
Dieses zweite Diagonalverfahren Cantors ist ein indirekter Beweis. Das heißt, man nimmt das Gegenteil einer Behauptung an und zeigt, das diese doch nicht der Wahrheit entsprechen kann. Damit gilt es dann als bewiesen, dass die ursprüngliche Behauptung stimmen muss.
Auf dieses Beispiel übertragen heißt das, dass man mit der Aussage übereinstimmt, alle reellen Zahlen zwischen Null und Eins untereinander auflisten zu können. Jene Folge der reellen Zahlen nenne ich z mit den Elementen zi. Die einzelnen Ziffern dieser Zahlen benenne ich mit aij. Hierbei bezeichnet i die Stelle in der Folge der reellen Zahlen und j die entsprechende Nachkommastelle einer Ziffer der reellen Zahl. Die dabei entstehende Liste ist unendlich lang und kann bei sehr vielen Zahlen natürlich auch nach rechts unendlich weit verlaufen, da die reellen Zahlen bekanntlicher Weise auch unendlich viele Stellen nach dem Komma haben können. Nun konstruiert man aus den Diagonalelementen, welche ganz oben links mit a11 beginnen, eine neue reelle Zahl x. Die dabei abgelesene unendlich lange Zahl wird nun folgendermaßen verändert: Jede Ziffer wird durch eine Null ersetzt, außer für schon vorhandene Nullen schreibt man jeweils eine Eins. Man erhält dadurch eine Zahl, die nur aus Einsen und Nullen besteht und nirgendwo in der Folge z aufgelistet wurde. Die Begründung hierfür ist, dass sich eine reelle Zahl zi mindestens an einer Stelle aij von der neu entstandenen Zahl x unterscheidet und zwar genau dort, wo i = j ist. Dies ist eine Stelle auf der Diagonalen von der eine Ziffer von zi für x übernommen und in Eins oder Null verändert wurde. Durch diese Veränderung kann man sich sicher sein, dass sich hier x von jedem zi unterscheidet. Somit hat man die anfängliche Behauptung des indirekten Beweises widerlegt, da man eine Zahl x gefunden hat, die in der Folge der reellen Zahlen z, welche vollständig sein sollte, nicht aufgeführt ist.
Die von mir dargestellte Tabelle veranschaulicht nochmals Cantors zweites Diagonalargument, wobei ich allerdings nur die Nachkommastellen aufgeführt habe. Der Vollständigkeit wegen bleibt zu erwähnen, dass x und jedes zi mit „Null Komma“ beginnen, da sie ja zwischen Null und Eins liegen. Die Diagonalzahlen, aus denen die Zahl x entsteht, habe ich hier „fett“ abgebildet.
Die Schlussfolgerung aus dem zweiten Diagonalargument lautet, dass die Menge der reellen Zahlen mächtiger ist, als die der natürlichen Zahlen, da sie sich nicht durchnummerieren oder - wenigstens theoretisch - abzählen lässt. Cantor nannte eine solche Menge überabzählbar und gab ihr die Kardinalzahl ?1. Des Weiteren erkannte er das Verhältnis zwischen ?0 und ?1, denn die Mächtigkeit von ?1 ist die Potenzmenge der abzählbaren unendlichen Zahlen: . Die Zahlen füllen jede noch so kleine Lücke zwischen den rationalen Zahlen restlos aus. Dieses Phänomen ist besonders beeindruckend, da, wie ich später noch genauer erläutern werde, zwischen zwei rationalen Zahlen unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen. Die Menge der reellen Zahlen haben die so genannte Mächtigkeit des Kontinuums.
Kontinuums – Hypothese
Nun stellt sich die Frage, ob es gerechtfertigt ist, direkt nach ?0 die Kardinalzahl ?1 folgen zu lassen. Vielleicht gibt es noch eine weitere Unendlichkeit, die größer als die abzählbar unendlichen Zahlen und kleiner als die reellen Zahlen ist. Cantor war davon überzeugt, dass es so eine Menge nicht geben kann und nannte dies die „Kontinuums - Hypothese“.
Diese Hypothese stellte sich lange Zeit als eines der größten ungelösten mathematischen Probleme heraus. 1963 bewiesen der österreichische Logiker Kurt Gödel und der amerikanische Mathematiker Paul Cohen, dass jenes Problem unter Annahme bestimmter mengentheoretischer Axiome weder widerlegt noch als richtig befunden werden kann. Beide Varianten sind mathematisch widerspruchsfrei vereinbar.
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